单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+x^{2}} \cos ^{4} x \mathrm{~d} x, N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin ^{3} x+\cos ^{4} x\right) \mathrm{d} x, P=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(x^{2} \sin ^{3} x-\cos ^{4} x\right) \mathrm{d} x$, 则有( )
$\text{A.}$ $N < P < M$.
$\text{B.}$ $M < P < N$.
$\text{C.}$ $N < M < P$.
$\text{D.}$ $P < M < N$.
二元函数 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处两个偏导数 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right), f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 存在是 $f(x, y)$ 在该点连续的 (）
$\text{A.}$ 充分条件而非必要条件.
$\text{B.}$ 必要条件而非充分条件.
$\text{C.}$ 充分必要条件.
$\text{D.}$ 既非充分条件又非必要条件.
设常数 $\lambda>0$, 且级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收玫, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\left|a_{n}\right|}{\sqrt{n^{2}+\lambda}}(\quad)$
$\text{A.}$ 发散.
$\text{B.}$ 条件收敛.
$\text{C.}$ 绝对收敛.
$\text{D.}$ 收敛性与 $\lambda$ 有关.
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a \tan x+b(1-\cos x)}{c \ln (1-2 x)+d\left(1-\mathrm{e}^{-x^{2}}\right)}=2$, 其中 $a^{2}+c^{2} \neq 0$, 则必有 ( )
$\text{A.}$ $b=4 d$.
$\text{B.}$ $b=-4 d$.
$\text{C.}$ $a=4 c$.
$\text{D.}$ $a=-4 c$.
已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性无关, 则向量组 （ ）
$\text{A.}$ $ {\alpha}_{1}+ {\alpha}_{2}, {\alpha}_{2}+ {\alpha}_{3}, {\alpha}_{3}+ {\alpha}_{4}, {\alpha}_{4}+ {\alpha}_{1}$ 线性无关.
$\text{B.}$ $ {\alpha}_{1}- {\alpha}_{2}, {\alpha}_{2}- {\alpha}_{3}, {\alpha}_{3}- {\alpha}_{4}, {\alpha}_{4}- {\alpha}_{1}$ 线性无关.
$\text{C.}$ $ {\alpha}_{1}+ {\alpha}_{2}, {\alpha}_{2}+ {\alpha}_{3}, {\alpha}_{3}+ {\alpha}_{4}, {\alpha}_{4}- {\alpha}_{1}$ 线性无关.
$\text{D.}$ $ {\alpha}_{1}+ {\alpha}_{2}, {\alpha}_{2}+ {\alpha}_{3}, {\alpha}_{3}- {\alpha}_{4}, {\alpha}_{4}- {\alpha}_{1}$ 线性无关.
填空题 （共 11 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0} \cot x\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x}\right)=$
曲面 $z-\mathrm{e}^{2}+2 x y=3$ 在点 $(1,2,0)$ 处的切平面方程为
设 $u=\mathrm{e}^{-x} \sin \frac{x}{y}$, 则 $\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}$ 在点 $\left(2, \frac{1}{\pi}\right)$ 处的值为
设区域 $D$ 为 $x^{2}+y^{2} \leqslant R^{2}$, 则 $\iint_{D}\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
已知 $\boldsymbol{\alpha}=(1,2,3), \boldsymbol{\beta}=\left(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}\right)$, 设 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}$, 其中 $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 是 $\boldsymbol{\alpha}$ 的转置, 则 $\boldsymbol{A}^{n}=$
设 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \left(t^{2}\right), \\ y=t \cos \left(t^{2}\right)-\int_{1}^{t^{2}} \frac{1}{2 \sqrt{u}} \cos u \mathrm{~d} u,\end{array}\right.$ 求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ 在 $t=\sqrt{\frac{\pi}{2}}$ 的值.
将函数 $f(x)=\frac{1}{4} \ln \frac{1+x}{1-x}+\frac{1}{2} \arctan x-x$ 展开成 $x$ 的幂级数.
求 $\int \frac{\mathrm{d} x}{\sin 2 x+2 \sin x}$.
已知 $A, B$ 两个事件满足条件 $P(A B)=P(\bar{A} \bar{B})$, 且 $P(A)=p$, 则 $P(B)=$
设相互独立的两个随机变量 $X, Y$ 具有同一分布律, 且 $X$ 的分布律为
则随机变量 $Z=\max \{X, Y \} $ 的分布律为
已知随机变量 $(X, Y)$ 服从二维正态分布, 并且 $X$ 和 $Y$ 分别服从正态分布 $N\left(1,3^{2}\right)$ 和 $N\left(0,4^{2}\right), X$ 与 $Y$ 的相关系数 $\rho_{X Y}=-\frac{1}{2}$, 设 $Z=\frac{X}{3}+\frac{Y}{2}$,
(1) 求 $Z$ 的数学期望 $E(Z)$ 和方差 $D(Z)$;
(2) 求 $X$ 与 $Z$ 的相关系数 $\rho_{X Z}$;
(3) 问 $X$ 与 $Z$ 是否相互独立?为什么?
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算曲面积分 $\iint_{S} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$, 其中 $S$ 是由曲面 $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ 及两平面 $z=R, z=-R(R>0)$ 所 围成立体表面的外侧.
设 $f(x)$ 具有二阶连续导数, $f(0)=0, f^{\prime}(0)=1$, 且 $[x y(x+y)-f(x) y] \mathrm{d} x+\left[f^{\prime}(x)+x^{2} y\right] \mathrm{d} y=0$ 为一全微分方程, 求 $f(x)$ 及此全微分方程的通解.
设 $f(x)$ 在点 $x=0$ 的某一邻域内具有二阶连续导数, 且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0$, 证明级数 $\sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛
已知点 $A$ 与点 $B$ 的直角坐标分别为 $(1,0,0)$ 与 $(0,1,1)$, 线段 $A B$ 绕 $z$ 轴旋转一周所成的旋转曲面为 $S$, 求由 $S$ 及两平面 $z=0, z=1$ 所围成的立体体积.
设四元齐次线性方程组 (I) 为 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}=0, \\ x_{2}-x_{4}=0 .\end{array}\right.$ 又已知某齐次线性方程组 (II) 的通解为 $k_{1}(0,1,1,0)+$ $k_{2}(-1,2,2,1)$.
(1) 求线性方程组 (I) 的基础解系;
(2) 问线性方程组 (I) 和 (II) 是否有非零公共解?若有, 则求出所有的非零公共解. 若没有, 则说 明理由.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶非零方阵, $\boldsymbol{A}^{*}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵, $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的转置矩阵, 当 $\boldsymbol{A}^{*}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 时, 证明 $|\boldsymbol{A}| \neq 0$.